By William Feller

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2n0 En déduire que la fonction fn 5. Quelle est la limite de (Yn )n ? Conclure que Y = f(X). Il est facile de vérifier que les fonctions fn sont mesurables au sens où ∀B ∈ B(R), f−1 (B) ∈ B(R). Cela implique que leur limite f est également mesurable. 1 Introduction à la notion de martingale Soit (Ω, A, P) un espace muni d’une tribu et d’une probabilité. On se donne une suite croissante de sous-tribus de A, (Fn , n ≥ 0). On dit alors dans cette situation, que (Fn , n ≥ 0) est une filtration sur (Ω, A, P).

Btn ) qui s’obtient par transformation linéaire du précédent est également gaussien. On peut de plus prouver le résultat suivant. q. ∀s, t ≥ 0, Cov (Bs Bt ) = min(s, t). Alors (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien. 3 est vérifié. Comme E(B0 ) = 0 (processus centré) et Var(B0 ) = min(0, 0) = 0, B0 est nul avec probabilité 1 et le point (i) est vérifié. Pour les points (ii) et (iii) on se donne 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . ≤ tn . Pour 1 ≤ i ≤ n, Var(Bti −Bti−1 ) = Var(Bti )−2Cov (Bti , Bti−1 )+Var(Bti−1 ) = ti −2 min(ti , ti−1 )+ti−1 = ti −ti−1 .

Mais E(Y|Y) = Y (Y est bien sûr σ(Y)-mesurable) et E(Z|Y) = E(Z) (puisque Z est indépendant de Y par construction). De plus E(Z) = E(X) − λ0 E(Y) = 0, donc : E(X|Y) = λ0 Y = ρ σ1 Y. σ2 De plus, le couple (X, Y) formant un vecteur gaussien, comme Z = X − λ0 Y, Z suit une loi gaussienne centrée de variance donnée par : Var(Z) = Var(X) + λ20 Var(Y) − 2λ0 Cov (X, Y) = Var(X) 1 − ρ2 . 4 Travail dirigé : Estimation bayesienne Mesure de la qualité. On considère une entreprise qui fabrique des résistances électroniques.

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by Kevin
4.5

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